从复数的三角形式到欧拉公式——《白话高中数学》复数（五）
今天聊聊如雷贯耳的欧拉公式，以及德·莫伊夫定理和复数的三角形式之间的关系。
在复平面（也称为阿干特图）上，每一个复数都可以用一个点来表示。
如果这个复数写作z=a+bi，其中a 和 b 是实数，i 是虚数单位（满足i2=−1），那么我们也可以将它转换成极坐标得表达形式：
这就是复数的三角形式。其中r为这个复数的绝对值|z|，也就是原点到这个复数点的距离，即复数对应向量的模；θ是复数的幅角，也就是复数的对应向量和x轴正半轴的夹角。
使用三角表达形式给复数的计算带来了巨大的方便：
比如乘除运算方面的简化：当两个复数相乘时，采用三角形式直接模长相乘、幅角相加就行；相除呢，直接模长相除，幅角相减。
也就是这样：
再比如幂和根计算：对于求复数的幂或根，三角形式同样简化了计算过程，比如德·莫伊夫定理（De Moivre's theorem）：
这个定理可以根据n个相同的复数z相乘推导而来，它使得计算复数的幂变得简单，并且还可以用它来求解复数的根，举个例子：
根据定理，直接代入即可：
想要对一个复数开根，也会变得非常简单：
我们直接设：
根据定理，上式就可以改写成：
当k=0时：
当k=1时：
最有成就感的，就是可以从复数的三角形式推导欧拉公式
欧拉公式是数学中的一个重要恒等式，它建立了复指数函数与三角函数之间的联系，表述为：
等号左侧是指数形式，右侧是三角函数形式，我们可以从复数的三角表达形式出发，用直观的方式来推导出等号的两边其实是等价的。
首先，如果一个模长为1的复数，幅角是θ，可以写成：
所有符合上式的复数点，在复平面上可以形成一个半径为1的圆。
如果复数z=1刚开始是趴在x轴正半轴上的，给它乘以一个i，就相当于把它旋转了90°，变成了z=i。如果我们拆解上述旋转过程，就会发现这种旋转实际上是通过复数的乘法来完成的：
现在，我们给出一个指数函数eθ,首先让θ=0，这就保证了e0=1，
我们把θ限定在一个单位圆里，当乘以一个i，变成iθ时,根据复数乘法的意义，我们任取一个θ，“iθ”就是在“θ”的基础上再旋转90°，模长并没有发生变化，还是r=1。
这就意味着：对于指数函数eiθ来说，任取一个θ值，“iθ”只是进行了旋转操作，那么eiθ也跟着进行了旋转操作，方向不同，但它的|eiθ|没有发生变化，均为1。
同时也就意味着：当θ连续变换时，复指数函数eiθ的轨迹就是复平面上半径为1的圆。
那么，从几何意义上来说，eiθ表示的轨迹和复数cosθ+isinθ表示的轨迹，就是同一个东西，二者是等价的：
这就是大名鼎鼎的欧拉公式！
它们都是在复平面上，半径为1的单位圆：
这是从直观上完成欧拉公式的推理，严谨性稍显不足，但好在容易理解。
如果想要严谨地证明欧拉公式，就必须使用泰勒级数展开：
首先是左侧：
右侧：
很明显，上式的实部就是cosθ的展开式，虚部就是sinθ的展开式,因此：
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